Un problema per dimecres, sempre que a Jan no li sembli feina excessiva.....
Fa quatre anys es va reploblar un bosc amb una espècie d’aus nova. Aleshores, se’n van introduir 100 exemplars. Actualment, s’estima que n’hi ha 25000 exemplars. S’ha conclòs que el nombre N d’aus ve donat per la fórmulaN = A· eB·t, on A i B són constants. El temps t s’expressa en anys.
a)Busca el valor de les constants A i B.
b)Quant temps haurem d’esperar perquè hi hagi 200000 exemplars?
( pista : resoldre sistema...tenim dues pistes .... les aus a l'inici i les aus actualment
si et dóna que a l'any 5,5 hi han 200000 exemplars vol dir que el tens bé)
Ah pels que encara esteu marejats per l'espiral... una mica d'història del senyor Neper, precursor del logaritme i per això del logaritme en base e se'n diu neperià.
Imagineu com serien les ciències d'avui sense logaritmes? Doncs al qual se'ls va acudir era un simple aficionat a les matemàtiques. Per als que no recordeu (o no vulgueu recordar) els logaritmes us refrescaré la memòria.
John Napier (1550-1617, en català Neper) va néixer a Escòcia i va dormar part d'una família noble de gran riquesa. Dedicat a cuidar les seves propietats, va transformar el seu castell en residència per a científics i artistes, utilitzant la seva gran fortuna per mantenir i convidar a inventors, matemàtics, astrònoms, poetes, pintors, etc.
Es va dedicar a les matemàtiques com una afició però va passar a la història perquè allà per l'any 1594, se li va acudir una idea. Va pensar que totes les xifres podien expressar-se de manera exponencial. Per exemple, per expressar el 4 podem fer-ho com 22 mentre que el 8 podem fer-ho com 23. Per als números 5, 6 i 7 necessitaríem que l'exponent fos una fracció de valor entre 2 i 3 en aquest cas. Una vegada que expressem els números d'aquesta manera, multiplicar-los és força senzill sumant exponents. Per exemple, si 4 * 8 = 32 tenim que 22*23=25. Hem sumat exponents i hem obtingut el mateix resultat ja que 25=32. Hem canviat fer una multiplicació per fer una suma. Bé, sí, per a aquest exemple era senzill, però els números a multiplicar podrien ser molt més grans.
Amb les paraules del propi Napier:
"... veient que no hi ha res més problemàtic en la pràctica matemàtica i res més molest que fer càlculs, multiplicacions, divisions, arrels quadrades i cúbiques de números molt grans... he treballat àrduament a resoldre aquests problemes..."
Va passar 20 anys obtenint exponencials de diverses funcions trigonomètriques ja que s'utilitzaven molt en càlculs astronòmics. Aquest procés va fer que digué a aquests números "logaritmes" (que vol dir "números proporcionats"), paraula amb que encara avui se'ls coneix.
El seu llibre "Descripció del meravellós cànon dels logaritmes", publicat en 1614, en el que explicava l'invent, va ser un gran èxit.
Va intentar mecanitzar l'ús del logaritme mitjançant unes varetes de càlcul a les quals se'ls va dir "corrons de Napier", però van ser superades i reemplaçades per un invent d'un tal William Oughtred (1574-1660), qui va treballar amb escales de logaritmes i va inventar el que avui coneixem com "regla de càlcul" (està en desús per les calculadores i ordinadors però durant anys els enginyers i científics en general les portaven com avui els metges porten el fonendoscopi). Per cert que va ser Oughtred qui va introduir els símbols de "sin", "cos" i "tg" per a sinus, cosinus i tangent, amb els quals tantes vegades ens hem barellat.
No he de dir-vos que els logaritmes són d'una utilitat capital en ciència. Just acabat de publicar-se, un astrònom anomenat Henry Briggs (1556-1631) va escriure sobre el nou descobriment:
"Els logaritmes són números que es van descobrir per facilitar la solució dels problemes aritmètics i geomètrics, a través d'això s'eviten totes les complexes multiplicacions i divisions transformánt-les a quelcom completament simple a través de la substitució de la multiplicació per l'addició i la divisió per la substracció. A més el càlcul de les arrels es realitza també amb gran facilitat"
Els qui més van utilitzar els logaritmes van ser els astrònoms. Un d'ells, Laplace, ho va expressar de manera molt clara:
"Els logaritmes han duplicat la vida dels astrònoms"
Però continuem amb Napier. Briggs va quedar totalment admirat quan va veure la bellesa i simplicitat del sistema i després espantat per la seva pròpia estupidesa de no concebre'ls fins que se'ls van donar fets. Tal com Napier havia expressat els logaritmes en escala natural (potències del número e, anomenats logaritmes naturals o "neperians"), Briggs li va fer veure que a vegades era molt convenient utilitzar potències del número 10. Els logaritmes així expressats són coneguts com a brigsians o comuns i són els que més s'utilitzen en càlculs ordinaris. El propi Briggs va construir les primeres taules logarítmiques amb potències de 10 amb ni més ni menys que 14 decimals en 1624.
Briggs, d'altra banda, va ser un admirador incondicional de Napier a qui, en un principi, no coneixia fins que un dia va tenir l'oportunitat:
"Quan Lord Napier, baró de Marchiston, va fer públics els seus logaritmes, el senyor Briggs, llavors professor d'astronomia en el Gresham College de Londres, es va sorprendre tant i va sentir tal admiració per ells, que no es va quedar tranquil de veritat fins que va aconseguir conèixer tan noble persona com el baró de Marchiston, malgrat que això era l'únic que havia inventat fins aleshores.
En aquella mateixa època, va conèixer a John Marr, matemàtic i geòmetra que va estar al servei dels reis Jaime i Carles I, que va ser a Escòcia abans que el senyor Briggs per poder ser present en el moment en què es trobessin dues persones tan cultes. El senyor Briggs va proposar un dia per la trobada, que havia de realitzar-se a Edimburg, però no va poder assistir per la qual cosa Lord Napier dubtava de si realment el senyor Briggs arribaria a visitar-lo alguna vegada.
Va succeir que un dia, parlant John Marr i Lord Napier del senyor Briggs, va dir el baró de Marchiston: "¡Ai, John!, el senyor Briggs no vindrà". En aquell mateix instant algú va trucar a la porta. John Marr va baixar corrent i, amb gran alegria, va comprovar que es tractava del senyor Briggs. Ho va portar a l'habitació del baró on van passar gairebé un quart d'hora observant-se mútuament amb gran admiració abans que cap d'ells parlés; al final, va ser el senyor Briggs qui va començar:
- Molt senyor meu, he fet aquest llarg viatge amb l'únic propòsit de veure'l i de saber el següent: gràcies a quina inspiració del seu talent o de la seva ingenuïtat ha aconseguit ser vostè el primer a pensar en una invenció tan excel·lent per a l'astronomia com els logaritmes? Perquè, una vegada que els ha descobert, em meravello que ningú abans els trobés, doncs ara que els coneixem, ens semblen summament fàcils.
El senyor Briggs va gaudir molt de la companyia de Lord Napier i cada estiu que va seguir a aquest que es van conèixer -mentre va viure el baró-, aquest home venerable, el senyor Briggs, va viatjar a Escòcia per visitar-lo".
No em digueu que aquesta trobada no és més bonica que la famosa escena final de Casablanca doncs aquesta trobada va ser realment "el principi d'una bonica amistat". Una vegada més, la realitat supera la ficció.
Au, poc a poc i bona lletra. ( bon cap de setmana ¡¡¡ ).
Feina extra per Laia i d'altres escèptics matemàtics del grup:
" feu gran la imatge de l'espiral logarítmica i observeu-la durant 1 minut, si ho feu descobrireu la força del logaritme. Que la força us acompanyi..."
